根据你的描述应该没有多大问题，如果没人问就算了，问的话也很好解释，只要离职不是被开除的就行，背景调查没人会那么较真的。
企业是为了确保新员工没有职场诚信问题或不良记录，因而在员工入职前进行背景调查。如果你的新公司是找的第三方背调公司，那返聘的经历很大可能会被调查出来的。
这个没必要澄清，越描越黑的，一般未必真去查。
背景调查是家庭背景吧，你的资料不写上家公司的联系人不得了吗
没关系，不问不需要写那么明确
