级数求和

精 确 解 是 ：
2 5 8 3 6 0 3 1 2 9 7 0 0 5 0 2 6 9 7 5 6 2 8 6 7 5 0 3 0 0 4 5 4 5 6 7 5 8 2 0 4 4 4 6 4 5 9 0 8 2 8 4 9 6 1 6 3 0 3 8 8 3 4 1 7 3 4 7 0 7 7 9 8 0 7 3 0 9 4 5 9 1 5 9 8 7 3 6 ／ 2 6 3 5 1 0 6 1 6 2 7 5 7 2 3 6 4 4 2 4 9 5 8 2 6 3 0 3 0 8 4 6 9 8 4 9 5 5 6 5 5 8 1 1 1 5 5 0 9 0 4 0 8 9 2 4 1 2 8 6 7 3 5 8 7 2 8 3 9 0 7 6 6 0 9 9 0 4 2 1 0 9 8 9 8 3 7 5
＝ 0 ． 9 8 0 4 5 5 0 4 4 3 6 0 3 9 7 3 5 0 7 5 5 5 0 7 3 0 2 1 8 5 9 7 5 2 4 1 6 0 9 6 4 3 2 5 4 3 7 0 1 5 7 0 0 0 3 8 1 6 2 8 7 1 2 9 0 3 6 2 7 7 3 1 9 9 5 2 8 5 1 5 0 2 4 9 7 6 4 ． ． ．
所 以 一 楼 的 解 法 是 错 误 的 ．
没 有 必 要 求 精 确 解 ．
题 目 只 需 考 虑 后 面 的 内 容 ： 求 该 无 穷 级 数 收 敛 值 的 公 式 ．
其 实 该 级 数 不 收 敛 ． 很 容 易 证 明 的 ．
级 数 级 数 ｛ A n ｝ ＝ ｛ 1 ／ 1 0 ， 1 ／ 1 4 ， 1 ／ 1 8 ， 1 ／ 2 2 ， 1 ／ 2 6 ， 1 ／ 3 0 ， 1 ／ 3 4 ， 1 ／ 3 8 ， 1 ／ 4 2 ， 1 ／ 4 6 ， 1 ／ 5 0 ， 1 ／ 5 4 ， 1 ／ 5 8 ， 1 ／ 6 2 ， 1 ／ 6 6 ， 1 ／ 7 0 ， 1 ／ 7 4 ， 1 ／ 7 8 ， 1 ／ 8 2 ， 1 ／ 8 6 ， ． ． ． ｝
｛ A n ｝ 的 通 项 公 式 为 A n ＝ 1 ／ （ 4 n ＋ 6 ）
从 ｛ A n ｝ 中 提 取 公 因 数 4 得 新 的 数 列 ｛ B n ｝ ， 通 项 公 式 为 B n ＝ 1 ／ （ n ＋ 3 ／ 2 ） ，
再 设 两 个 新 的 级 数 ｛ C n ｝ ， 通 项 公 式 为 C n ＝ 1 ／ （ n ＋ 1 ） ，
｛ D n ｝ ， 通 项 公 式 为 D n ＝ 1 ／ （ n ＋ 2 ） ，
于 是 A n 的 前 n 项 和 为 ∑ A n ＝ 4 ∑ B n ，
∑ D n ＜ ∑ B n ＜ ∑ C n
∑ D n 和 ∑ C n 没 有 简 单 的 求 和 公 式 ，
但 是 当 n → ＋ ∞ 时 ，
∑ D n ＝ ㏑ n ＋ γ － 1 － 1 ／ 2 ，
∑ C n ＝ ㏑ n ＋ γ － 1 ，
于 是 当 n 较 大 时 ， B n 在 ㏑ n ＋ γ － 1 ． 5 和 ㏑ n ＋ γ － 1 之 间 ， 其 中 γ 为 欧 拉 常 数 ， 是 无 理 数 ， 一 百 位 有 效 数 字 为 0 ． 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 0 1 5 3 2 8 6 0 6 0 6 5 1 2 0 9 0 0 8 2 4 0 2 4 3 1 0 4 2 1 5 9 3 3 5 9 3 9 9 2 3 5 9 8 8 0 5 7 6 7 2 3 4 8 8 4 8 6 7 7 2 6 7 7 7 6 6 4 6 7 0 9 3 6 9 4 7 0 6 3 2 9 1 7 4 6 7 4 9 5
于 是 求 当 n 为 1 0 0 0 0 0 0 时 ， 可 以
∑ B n ＞ l n 1 0 0 0 0 0 0 ＋ γ － 1 ． 5 ≈ 1 2 ． 8 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
∑ B n ＜ l n 1 0 0 0 0 0 0 ＋ γ － 1 ≈ 1 3 ． 3 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
于 是 1 2 ． 8 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7 ＜ ∑ B n ＜ 1 3 ． 3 9 2 7 2 6 2 2 2 8 6 5 8 0 7
于 是 5 1 ． 5 7 0 9 0 4 8 9 1 4 6 3 2 3 ＜ ∑ A n ＜ 5 3 ． 5 7 0 9 0 4 8 9 1 4 6 3 2 3
当 然 当 n 很 大 时 ， 用 这 种 办 法 估 计 ∑ A n 的 大 小 是 很 方 便 的 ， 但 是 当 n 比 较 小 时 ， 计 算 ∑ A n 就 没 有 什 么 意 义 了 ．

下面是关于欧拉常数γ的介绍:
http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/1f504bde2198771b4854034f.html

1/（1+2+3+4）+1/（2+3+4+5）+。。。+1/（100+101+102+103）
= （1/4）·（1/3 - 1/7 + 1/5 - 1/9 + 1/7 - 1/11 +......+1/201 - 1/205）
= （1/4）·（1/3 + 1/5 - 1/203 - 1/205）
= 200·（1/4）·（1/609 + 1/1025）
= 50/609 + 2/41
= 3268/24969

发散的，这是调和数列

真n 。。