二重积分的几何意义是曲顶柱体体积，中值定理意思是找一个与之体积相同的同底的平顶柱体，该平顶柱体之高一定介于曲顶柱体高的最大与最小之处间，显然此两柱体的交线处所在高度刚好就是f(ξi,ηi).其中(ξi,ηi)是交线在xoy平面上投影线上的任一点！相信你明白了
若用几何意义曲顶柱体的体积来解释，
二重积分中值定理中的“中值”点P0处的函数值f(P0)乘以D的面积，
也就是一个平顶柱体的面积，
这个面积=曲顶柱体的面积。
所以把f(P0)理解为f在其曲面上取值的中值。
类似于对定积分中值定理的理解，可以类比一下。
关于问题“还有老师讲几何意义时画了个图，说交线上的点(在D上的投影)才符合条件，为什么是交线上？”
其中的复述可能不全。
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