z=y^2f(xy,e^x)求二阶偏导数。

Z = y^2 F(xy，e^x) 设u=xy， v=e^x，则
Z = y^2 F(u，v)。
求偏导数如下：
(1)
Z'x = y^2 (F'u*y + F'v*e^x)
Z'x = y^3F'u + y^2e^x F'v
Z''xx
= y^3(yF''uu +e^xF''uv)+y^2e^xF'v+y^2e^x(F''vu*y+F''vv*e^x)
= y^4 F''uu + y^3e^x F''uv+y^2e^xF'v+y^3e^xF''vu+y^2e^2xF''vv
=y^4 F''uu +2y^3e^x F''uv+y^2e^xF'v+y^2e^2xF''vv
(2)
Z'y=2yF(u,v)+y^2(F'u*x+F'v*0)=2yF（u，v）+F'u*xy^2.
Z''yy
=2F（u,v）+2y(F'u*x+F'v*0)+x*2y*F'u+xy^2*(F''uv*0+F''uu*e^x)
=2F（u,v）+4xyF'u+xy^2e^xF''uu
(3)
Z'x = y^3F'u + y^2e^x F'v
Z''xy
=3y^2F'u+y^3*(F'uv*0+F'uu*x)+e^x*2yF'v+e^xy^2*(F'vv*0+F'vu*x)
=3y^2F'u+xy^3F'uu+2e^x*yF'v+xy^2e^xF'vu

简单分析一下，详情如图所示

好题