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已知扇形面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？

2025-01-03 19:17:49

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回答1：

解：设半径是x，弧长是L
则由S=1/2Lx=25，得L=50/x
所以周长C=2x+50/x
Cx=2x²+50
2x²-Cx+50=0
因x有解
所以△=C²-4*2*50≥0，
即C²≥400
C≥20,（取正）
当C取最小值20时
2x²-20x+50=0
x²-10x+25=0
（x-5）²=0
x=5
此时扇形的圆心角为L/x=（50/x）/x=（50/5）/5=2弧度
即当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取最小值20
【当然，也可用两个正数a，b，a+b≥√ab，即C=2x+50/x≥2√（2x*50/x）=20
，当且仅当2x=50/x，x=5时取等号求得】

回答2：

设半径是x，圆心角是alpha

面积=alpha*x^2/2=25

周长=r*alpha+2x=50/x+2x

当x=10的时候，又最小值，周长=5+20=25

这个必然用到分数函数，没办法回避。

回答3：

设半径是r，圆心角是t
面积=t*r^2/2=25
周长=r*t+2r=50/r+2r
当x=10的时候，有最小值，周长为5+20=25