用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角

已知圆O，圆心为O，半径为r，AB为圆的直径，C为圆O上任意一点，那么证明∠ACB=90°。

证明：

因为AB为直径，那么AB过圆心O，且AO=BO=r，同时OC=r。

令向量AO=m，向量OB=n，向量OC=p。

那么由于A、O、B共线，且AO=BO=半径，那么m=n。

而根据向量法则可得，

向量AC=向量AO+向量OC=m+p，

向量CB=向量CO+向量OB=n-p=m-p。

则向量AC·向量CB=(m+p)·(m-p)=m·m-p·p=|m|^2-|p|^2。

又AO=OC=r，

那么|m|^2-|p|^2=r^2-r^2=0，

即向量AC与向量CB垂直，即∠ACB=90°。

上述即证明了直径所对的圆周角为直角。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、圆的性质

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

（2）直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

（3）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

参考资料来源：百度百科-向量

参考资料来源：百度百科-圆

已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只需证向量AC⊥向量CB，即：向量AC·向量CB=0
证：设向量AO=向量a，向量OC=向量b
则：向量AC=向量a+向量b，向量CB=向量a-向量b
由此可得：向量AC·向量CB=（向量a+向量b）·（向量a-向量b)=向量a的平方-向量b的平方=a向量模的平方-b向量模的平方=0（因为AO，OC都是圆的半径，是相等的）
∴向量AC·向量CB=0
∴∠ACB=90°
∴原命题得证。
注：符号难打，你将就一下哦！

2B了吧～圆O，BA为直径（以下省略向量），令OB＝a，OC＝b。所以AC＝AO＋OC＝a＋b，BC＝BO＋OC＝b－a，AC●BC＝（a＋b）●（a－b）＝b2－a2＝|b|2－|a|2。又|b|＝|a|，所以AC●BC＝0，所以AC垂直于BC

设直径的两个端点为A和B，C为圆周上另外任意一点
设向量OA=a，向量OC=b
则CA=a-b，CB=OB-OC=-OA-OC=-a-b
CA·CB=(a-b)·(-a-b)=b·b-a·a=|b|²-|a|²=0
所以，CA⊥CB