已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[?12，1)上的最大值为38，求实数b的值；（2）

2024-12-03 13:12:18

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回答1：

（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或

．
列表如下：

，0)

(0，

)

(

，1)

f′（x）

f（x）

f(?

)

↘

极小值

↗

极大值

↘

∵f(?

)＝

+b，f(

)＝

+b，
∴f(?

)＞f(

)，
即最大值为f(?

)＝

+b＝

，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2?2x

x?lnx

恒成立，即a≤(

x2?2x

x?lnx

)min．
令t(x)＝

x2?2x

x?lnx

，(x∈[1，e])，求导得，t′(x)＝

(x?1)(x+1?2lnx)

(x?lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t_min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）
（3）由条件，F(x)＝