如何计算出一年的第一天是星期几?

利用蔡勒公式计算。

公式如下：

符号意义：

1、w：星期； w对7取模得：0-星期日，1-星期一，2-星期二，3-星期三，4-星期四，5-星期五，6-星期六

2、c：世纪（注：一般情况下，在公式中取值为已经过的世纪数，也就是年份除以一百的结果，而非正在进行的世纪，也就是现在常用的年份除以一百加一；

不过如果年份是公元前的年份且非整百数的话，c应该等于所在世纪的编号，如公元前253年，是公元前3世纪，c就等于-3）

3、y：年（一般情况下是后两位数，如果是公元前的年份且非整百数，y应该等于cMOD100+100）

4、m：月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）

5、d：日

扩展资料

适用范围

蔡勒公式只适合于1582年（中国明朝万历十年）10月15日之后的情形。罗马教皇格里高利十三世在1582年组织了一批天文学家，根据哥白尼日心说计算出来的数据，对儒略历作了修改。

将1582年10月5日到14日之间的10天宣布撤销，继10月4日之后为10月15日。后来人们将这一新的历法称为“格里高利历”，也就是今天世界上所通用的历法，简称格里历或公历。

c++代

　—— 蔡勒（Zeller）公式
　　历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式（两个通用计算公式和一些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

　　公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪-1；y：年（两位数）；m：月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整数部分。(C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算，这时C和y均按上一年取值。)

　　算出来的W除以7，余数是几就是星期几。如果余数是0，则为星期日。

　　以2049年10月1日（100周年国庆）为例，用蔡勒（Zeller）公式进行计算，过程如下：
　　蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
　　=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
　　=49+[12.25]+5-40+[28.6]
　　=49+12+5-40+28
　　=54 (除以7余5)
　　即2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。

　　你的生日（出生时、今年、明年）是星期几？不妨试一试。

　　不过，以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形（当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用的公历）。

　　过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看)

　　星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六
　　天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生
　　活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所
　　以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，即是
　　指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。

　　在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知
　　道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会
　　随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中
　　计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通
　　过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？

　　答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道
　　了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出
　　来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。
　　其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星
　　期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15
　　日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也
　　都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2，
　　这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

　　这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子
　　之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的
　　“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期
　　的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是
　　0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那
　　么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。

　　但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月
　　1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29
　　日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年
　　元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加
　　5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把
　　5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第
　　一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。
　　所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

　　仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个
　　整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两
　　个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文
　　学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这
　　样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一
　　年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是
　　星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就
　　只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

　　我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在
　　2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400
　　年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。

　　因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年
　　中的闰年数，就等于

　　[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，

　　[...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉
　　被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一，这
　　样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：

　　W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)

　　其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月
　　31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来
　　算2004年5月1日：

　　W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +
　　(31+29+31+30+1)
　　= 731702，

　　731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

　　上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔
　　细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是
　　不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语
　　来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。

　　显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实，

　　(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
　　= (Y-1) * (7*52+1)
　　= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，

　　这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就
　　等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：

　　(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．

　　其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情
　　况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到
　　了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：

　　W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)

　　这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻
　　烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各
　　个月的日数，列表如下：

　　月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
　　--------------------------------------------------------------------------
　　天 数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

　　如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张
　　表：

　　月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
　　------------------------------------------------------------------------
　　剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
　　平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
　　闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30

　　仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,
　　3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，
　　后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的
　　存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：

　　╭ d； （当M＝1）
　　D = { 31 + d； （当M＝2） (3)
　　╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3）

　　其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年
　　i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的
　　平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一
　　个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：

　　D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
　　= 122，

　　这正是5月1日在2004年的累积天数。

　　假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍
　　然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一
　　天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：

　　D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)

　　上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：

　　W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
　　+ (M-1) * 28 + d．

　　因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，
　　公式变成：

　　W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
　　(5)

　　当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子
　　的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这
　　个公式来算，有：

　　W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
　　+ 1
　　= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
　　= 2524；
　　2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。

　　公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年
　　份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列
　　表如下：

　　年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
　　--------------------------------------------------------------------
　　星期： 4 2
　　====================================================================
　　年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
　　--------------------------------------------------------------------
　　星期： 0 5

　　可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)
　　年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可
　　以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们
　　可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：

　　W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)

　　式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月
　　1日，C=20，则：

　　W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
　　= 8 - 4
　　= 4．

　　把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：

　　(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
　　(mod 7)． (7)

　　因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算
　　每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写
　　出来就是：

　　W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)

　　有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式
　　就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考
　　虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)
　　简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意
　　一天是星期几的公式：

　　W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)

　　式中，y是年份的后两位数字。

　　如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写
　　成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：

　　4q + r = C，

　　其中r即是 C mod 4，因此，有：

　　r = C - 4q
　　= C - 4 * [C/4]． (10)

　　则

　　(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
　　＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
　　≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)

　　把式(11)代入(9)，得到：

　　W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)

　　这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是
　　几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，
　　C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的
　　公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
　　1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，
　　式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。

　　现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
　　公式，有：

　　W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
　　= -15．

　　注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便
　　计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。
　　再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结
　　果一致。

　　最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑
　　的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：

　　W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)

　　这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

原理如下:
1年1月1日是星期一.这个程序从1年1月1日开始算到第Y年共有多少天,然后取7的余数即是所求的星期.

首先要知道这一年的第一天或者任何一天是星期几，然后知道要计算的这一天是这一年的第几天，然后余7，就可以推出来了