有没有既是开集又是闭集的集合？

想知道有没有既是开集又是闭集的集合？如果又，是什么集合？

2024-12-27 16:56:35

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回答1：

在拓扑学中，在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又是闭集的集合。

例子
1.在任何拓扑空间 X 中，空集和整个空间 X 都是闭开集。
2.有些拓朴空间内有其他开闭集，如离散空间的任意子集都是闭开集。
3.考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X。在 X 上的拓扑从实直线 R 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在 X 中，集合 [0,1] 和 [2,3] 都是闭开集。这是非常典型的例子: 只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
4.不太常见的例子，考虑所有有理数的空间 Q 带有它们的正常拓扑，和平方大于 2 的所有正有理数的集合 A。利用 √2 不在 Q 中的事实，可以非常容易的证明 A 是 Q 的闭开子集。(还要注意 A 不是实直线 R 的闭开子集；它在 R 中既不是开集也不是闭集。)