一道高中三角函数的应用题

1) 由勾股定理可得 AB=5百米
F点在AB上，设BF=X AF=5-X
则BE+BF+EF=EC+AC+AF+EF
2+X=2+3+5-X
X=4
cosB=BC/AC=4/5
EF²=BE²+BF²-2*BE*BF*cosB
=4+16-2*2*4*4/5
=36/5
EF=6/5*根号5

2）
a)
设F点在AB上，BF=Y AF=5-Y
过F作FG⊥BC
则 sinB=AC/AB=3/5=FG/BF=FG/Y
FG=3Y/5
s2=1/2*BE*FG=1/2*2*3Y/5=3Y/5
s1=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-3Y/5=(30-3Y)/5

s1/s2=[(30-3Y)/5]/(3Y/5)
=(10-Y)/Y=10/Y - 1

因为0≤Y≤5
所以当Y=5时，s1/s2有最小值=10/5-1=1

b)设F点在AC上，CF=Z AF=3-Z
三角形面积s1=1/2*EC*CF=1/2*2*Z=Z

四边形面积s2=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-Z

s1/s2=(6-Z)/Z
=6/Z - 1

因为0≤Z≤3
所以当Z=3时，s1/s2有最小值=6/3-1=1

综上所述 s1/s2的最小值为1