高等数学上册第六版十一章课后习题答案

判断下列论述是否正确？并说明理由：

（
1
）级数
1
n
n
u



收敛（发散）等价于其部分和数列
{
}
n
s
收敛（发散）
；

（
2
）对于任何级数
1
n
n
u



来说，
n
r
1
2
n
n
u
u





都是它的余项；

（
3
）设
k
为任意常数，则
1
n
n
u



与
1
n
n
ku



有相同的敛散性；

（
4
）若级数
1
n
n
u



与
1
n
n
v



都发散，则级数
1
(
)
n
n
n
u
v




一定发散；若级数
1
n
n
u



与
1
n
n
v



中
一个收敛一个发散，则级数
1
(
)
n
n
n
u
v




的敛散性不定；

（
5
）若将一个级数不改变其各项的顺序而任意添加括号后所得的新级数收敛，则原级数
必定收敛；

（
6
）对一个收敛级数的和
s
来说它是无穷多个数的“和”
，因此可以按照有限个数求和的
运算规律进行，比如可以交换各项的顺序等等．

答：
（
1
）正确，这就是级数敛散性的定义，



1
n
n
u
收敛于
s
的充分必要条件是
s
s
n
n



lim
．

（
2
）不正确，只有收敛级数才有余项，发散级数不定义余项．

（
3
）不正确，需要
0

k
，如



1
1
n
n
发散，但是当
0

k
时，







1
1
0
n
n
n
k
收敛．

（
4
）都不正确，前者可能收敛也可能发散，如




1
n
n
u



1
1
n
，




1
n
n
v




1
)
1
(
n
都发散，
但是
1
(
)
n
n
n
u
v








1
0
n
是收敛的，又如




1
n
n
u



1
1
n
n
，




1
n
n
v



1
1
n
n
都发散，并且
1
(
)
n
n
n
u
v








1
2
n
n
仍发散；后者一定发散，事实上，不妨设



1
n
n
u
收敛，



1
n
n
v
发散，如
果
1
(
)
n
n
n
u
v




收敛，
则









1
1
]
)
[(
n
n
n
n
n
n
v
u
v
u
收敛，
与题设矛盾，
所以
1
(
)
n
n
n
u
v




一
定发散．