解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵DC=AC，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°（等边对等角）．
连接OC．
∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴∠DCO=90°．
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=
AB=1，1 2
∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=
，
3
∴S阴影=S△OCD-S扇形OCB=
×1×1 2
-
3
=60π×12
360
-
3
2
．π 6
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