这个变限积分函数该如何求导？

最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。

扩展资料

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

证明过程如下：

参考资料

百度百科-变限积分函数

这个变限积分函数该如何求导？
解答如图所示

变形
f(x)=∫t³sintdt-x³∫sintdt
f'(x)=x³sinx-3x²∫sintdt-x³sinx
=-3x²∫sintdt
=3x²(cosx-1)

求解如下，

一个鸡蛋去茶馆喝茶，结果它变成了茶叶蛋；一个鸡蛋跑去松花江游泳，结果它变成了松花蛋；一有个鸡蛋跑到了山东，结果变成了鲁（卤）蛋；一个鸡蛋无家可归，结果它变成了野鸡蛋；一个鸡蛋在路上不小心摔了一跤，倒在地上，结果变成了导弹；一个鸡蛋跑到人家院子里去了，结果变成了原子弹；一个鸡蛋跑到