设a>b>0,那么a^2+1⼀b(a-b)的最小值是

2024-12-30 17:08:14

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回答1：

解：a^2+1/b(a-b)>= a^2+1/{[(b+a-b)/2]^2}
=a^2+4/(a^2)
>=2*(根号[a^2*(4/a^2)])=4

等号成立的条件：当并且仅当b=a-b,a^2=4/a^2
即：a=根号2，b=根号2/2时，等号成立
所以，最小值是4

回答2：

因为a>b>0

所以设b=xa ( 1>x>0 )
所以 a^2+1/b(a-b)=a^2+1/x(1-x)a^2
因为a^2为定值，所以x(1-x)最大时，a^2+1/b(a-b)最小

抛物线y=x(1-x)=-x^2+x 的开口向下
当x=1/2时y有最大值y=1/4

这时 1/b(a-b)的最小值是 4/a^2

所以a^2+1/b(a-b)的最小值是 a^2+4/a^2