用数列极限的定义证明，过程详细些

|1/n^k-0|=1/n^k

对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0。

当n>N，就有|1/n^k-0|<ε。

因此，根据定义：lim 1/n^k=0。

例如：

|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|

证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1

化简得n>√(2/e-1);

这里取N=[√(2/e-1)]+1;

则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|

即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。

证毕。

数列极限的求法：

1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。

2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。

3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型。

存在条件：

单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。

|1/n^k-0|

=1/n^k

对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0，

当n>N，就有|1/n^k-0|<ε

因此，根据定义：

lim 1/n^k=0

例如：

|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|

证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1

化简得n>√(2/e-1);

这里取N=[√(2/e-1)]+1;

则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|

即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。

证毕。

扩展资料：

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

参考资料来源：百度百科-无穷大

看图合适否

定义证明是所有ξ都存在N=g(ξ),s.t.所有n＞N,都满足|f(n)－lim|在u(0,ξ)内。而你硬把2代入，算出来N并不能保证所有n＞N,都满足|f(n)－lim|在u(0,ξ)内。