变积分上限函数的求导

d[∫(0,x) t*f(2x-t)dt]/dx
= [∫(0,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt - ∫(0,x) t*f(2x-t)dt]/Δx
= {∫(0,x) t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx + [∫(x,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx

而因为[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]/Δx = 2f'(2x-t)

{∫(0,x) t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx
=∫(0,x) 2t*f'(2x-t)dt

令g（t）= t*f(2x+2Δx-t)，记g(t)的原函数为G(t)

则[∫(x,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx = [G(x+Δx)-G(x)]/Δx = G'(x) = g(x) = xf(x)（Δx为无穷小）
原式=∫(0,x) 2t*f'(2x-t)dt + xf(x)

不能看做复合函数，因为运用复合函数求导公式时，复合函数的某个自变量必须在一个函数内。

如f[g(x)]，对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的，如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式，即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x)。

若把原式看做复合函数，
令∫g(x)dx (上限s,下限t)= h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt（上限x,下限0）= h[t*f(2x-t),x,0]，自变量x不在同一个函数内。