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设函数f(x)=x|x-a|,x∈[0,1]的最大值为a^2⼀4,求实数a的取值范围

2024-12-18 01:53:17

推荐回答（3个）

回答1：

已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围

解析：因为，分段函数：
f(x)=ax-x^2 (xf(x)=x^2-ax (x>=a)
当x当x>=a时，f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=a/2，其最小值为a^2/4
当a<=0时，a当a>0时，0 a^2/4-|1-a|==>0=0==>a>=2√2-2
a>=1时，(a^2+4-4a)/4>=0==>(a-2)^2>=0
即
当0当2√2-2<=a<=2时，a^2/4>=|1-a|
当a>2时，a^2/4>|1-a|
综上：当2√2-2<=a<=2时，f(x)在区间[0,1]上，最大值为a^2/4

回答2：

f(x)有最大值，所以x又x∈[0,1]所以a∈[0,2].

回答3：

若a<0,则f(x)=x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4,在[0,1]上递增，x=1取得最大值，即1-a=a^2/4,求得a=+-2sqrt(2)-2,a<0,故a=-2sqrt(2)-2
若a>1,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4递增，x=1取得最大值，求得a=2
若0<=a<=1,则若x>a,则f(x)=(x-a/2)^2-a^2/4,在[a，1]上递增，在[0,a/2]递减，a<=1,所以a/2<=1/2,故x=1取得最大值，求得a=2sqrt(2)-2
若x<=a,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4，f(x）在[0,a/2]递增，在[a/2,1]递减，当x=a/2有最大值。
故a的取值范围为a=-2sqrt(2)-2and a=2 and [0,1]