以后学了高等数学就明白了，不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。
至于你的这个问题，是数列的计算技巧问题。这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来，进而得到周期。可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。
对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。
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