解一元二次方程的应用题的诀窍

一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 (a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
我们把 (a≠0)叫做一元二次方程的一般形式,特别注意二次项系数一定不为0,b、c可以为任意实数,包括可以为0,即一元二次方程可以没有一次项,常数项. (a≠0), (a≠0), (a≠0)都为一元二次方程.
3.一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种:(1)直接开平方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.要根据方程的特点灵活选择方法,其中公式法是通法,可以解任何一个一元二次方程.
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为 .
△>0 方程有两个不相等的实数根.
△=0 方程有两个相等的实数根.
△<0 方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
5.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ,那么 .
6.解应用题的步骤
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.
【解题思想】
1.转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.在本章中,将解一元二次方程转化为求平方根问题,将二次方程利用因式分解转化为一次方程等.
2.从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律,通过对特殊现象的研究得出一般结论,如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法,再如探索一元二次方程根与系数的关系等.
3.分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想.
【经典例题精讲】
1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.