数学竞赛题.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取n个数,并总能从其中找出若干个数的和能被10整除,问n的最小值.

4.n的最小值为5
证明如下：
应想到，被10整除意味着n个数中任意取出来的数之和只能为10
20
30
40.
（1）首先用特殊法排除:n取1，2，3，4都不满足条件：若n取4,则取这四个数为9,8,7,6
这4个数中，10<任意两数之和<20，30<任意三数之和<40，所以无论怎么取都不可能取出被10整除的数，而对于n取1，2，3的情况，因为4已经不满足
故可排除（比如，假若n取3你就取9，8，7）
（2）然后用分组法确定6,7,8,9都是可取的n值:将这9个数分组19
28
37
46
5，任意取的n个数中，只要同时取到同一组的两个数，则这个n是满足题目要求的,而n取6意味着刷掉3个数，取7意味着刷掉2个数...而为了避免同时取到一个组的数，至少要刷掉4个数，所以6，7，8，9都符合要求.
现在问题就剩下一个：n的最小值是5还是6？
（3）来研究假定n为5的情况：同（3）进行分组，则必然要刷掉4组中的4个数，也就是说，5必须是所取的数.既然取了5，那么剩下的数中能找出两个数之和的尾数为5（实际上也只能为5或15），那么n=5就可行.
现在尽可能地钻牛角尖让n=5行不通
为此游戏进入如下规则：5已取定；若取了1，则9和4都不能取；若取了2，则8和3都不能取；若取了9，则1和6都不能取；若取了8，则2和7都不能取
分析得满足这要求的只有如下2x2=4组取法：
5
1
6
2
7；5
9
4
2
7；5
1
6
8
3；5
9
4
8
3
与每组相对应有：2+1+7
5+9+4+2
5+1+6+8
9+8+3
所以，n=5是钻不了牛角尖的^_^
所以，n的最小值为5
证明毕!

4.n的最小值为5 证明如下：

应想到，被10整除意味着n个数中任意取出来的数之和只能为10 20 30 40.

（1）首先用特殊法排除:n取1，2，3，4都不满足条件：若n取4,则取这四个数为9,8,7,6 这4个数中，10<任意两数之和<20，30<任意三数之和<40，所以无论怎么取都不可能取出被10整除的数，而对于n取1，2，3的情况，因为4已经不满足 故可排除（比如，假若n取3你就取9，8，7）

（2）然后用分组法确定6,7,8,9都是可取的n值:将这9个数分组19 28 37 46 5，任意取的n个数中，只要同时取到同一组的两个数，则这个n是满足题目要求的,而n取6意味着刷掉3个数，取7意味着刷掉2个数...而为了避免同时取到一个组的数，至少要刷掉4个数，所以6，7，8，9都符合要求.

现在问题就剩下一个：n的最小值是5还是6？

（3）来研究假定n为5的情况：同（3）进行分组，则必然要刷掉4组中的4个数，也就是说，5必须是所取的数.既然取了5，那么剩下的数中能找出两个数之和的尾数为5（实际上也只能为5或15），那么n=5就可行.

现在尽可能地钻牛角尖让n=5行不通

为此游戏进入如下规则：5已取定；若取了1，则9和4都不能取；若取了2，则8和3都不能取；若取了9，则1和6都不能取；若取了8，则2和7都不能取 分析得满足这要求的只有如下2x2=4组取法：
5 1 6 2 7；5 9 4 2 7；5 1 6 8 3；5 9 4 8 3
与每组相对应有：2+1+7 5+9+4+2 5+1+6+8 9+8+3

所以，n=5是钻不了牛角尖的^_^

所以，n的最小值为5 证明毕!

1143516514