(a^2+b^2)⼀√ab ≥a+b怎么证明！！

你的思路是对的
但是利用a^2+b^2≥2ab放宽的太宽了，超出了范围
就像要你证明3>1，但是你利用了3>0的定理
这样不合适
a、b同号，此题要分两步
1、当a<0，b<0
原式左边＞0，原式右边<0
显然原不等式成立
2、当a>0，b>0
原式可以整理得到
a^4+b^4-a^3b-ab^3≥0
因式分解 (a-b)^2(a^2+ab+b^2)≥0
(a-b)^2＞0，a^2+ab+b^2>0成立
所以原不等式成立

a^2+b^2>√ab(a+b)
令√a=x, √b=y好理解些，这样上式等于
x^4+y^4> xy(x^2+y^2)
x^4-x^3y+y^4-xy^3>0
x^3(x-y)-y^3(x-y)>0
(x-y)(x^3-y^3)>0
(x-y)^2(x^2+xy+y^2)>0 成立，因此等式(a^2+b^2)/√ab ≥a+b也成立，过程你要自己整理

证明(a^2+b^2)/√ab ≥a+b
就是证明a^2+b^2 ≥a√ab+b√ab
移项a^2-a√ab+b^2-b√ab≥0
a√a(√a-√b)+b√b(√a-√b)≥0
(√a-√b)(a√a-b√b)≥0
若√a>√b，则a√a>b√b，不等式成立
若√a<√b，则a√a以上各步可逆，所以原不等式成立
不是我做的,找来的.