矩阵的特征值和特征向量

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
2-λ -1 1
0 3-λ -1
2 1 3-λ 第2列加上第3列×(3-λ)
=
2-λ 2-λ 1
0 0 -1
2 1+(3-λ)² 3-λ 按第二行展开
=
(-1)*(-1)^(2+3) *{(2-λ)*[1+(3-λ)²] -2*(2-λ)}
=(2-λ)*(λ²-6λ+8)=0
解得λ=2，2，4
λ=2时，
A-2E=
0 -1 1
0 1 -1
2 1 1 第1行加上第2行，第3行减去第2行
～
0 0 0
0 1 -1
2 0 2 第3行除以2，交换第1和第3行
～
1 0 1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(-1,1,1)^T

而λ=4时，
A-4E=
-2 -1 1
0 -1 -1
2 1 -1 第1行加上第3行，第3行加上第2行，第2行乘以-1
～
0 0 0
0 1 1
2 0 -2 第3行除以2，交换第1和第3行
～
1 0 -1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,-1,1)^T
所以特征值为2的特征向量为(-1,1,1)^T，
特征值为4的特征向量为(1,-1,1)^T

|A-λE|=
2-λ -1 1
0 3-λ -1
2 1 3-λ
r1+r3,c3-c1
4-λ 0 0
0 3-λ -1
2 1 1-λ
= (4-λ)[3-λ)(1-λ)+1]
= (4-λ)(λ^2-4λ+4)
= (4-λ)(λ-2)^2.
所以A的特征值为4,2,2
(A-4E)x=0 的基础解系为 a1=(1,-1,1)^T
所以A的属于特征值4的全部特征向量为 k1a1, k1≠0.
(A-2E)x=0 的基础解系为 a2=(-1,1,1)^T
所以A的属于特征值2的全部特征向量为 k2a2, k2≠0.