高中空间向量计算的方法

高中数学“空间向量与立体几何”介绍 [信息来源：人民教育出版社] [信息作者：田载今] [发表时间：2008-07-25 10:03:42] 　　在三维空间中，表示方向和大小的量是有三个分量的向量——三维空间向量（简称空间向量）。空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。本章的主要内容是“空间向量”和“立体几何中的向量方法”。一．内容与要求 （一）本章内容 本章的主要内容包括：空间向量的概念，空间向量的运算，空间向量基本定理，空间向量的坐标表示，空间向量在立体几何中的应用。 全章共分两节： 3．1 空间向量及其运算； 3．2 立体几何中的向量方法。 3.1 节“空间向量及其运算”的主要内容包括：空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示（包括空间向量基本定理）、空间向量运算的坐标表示等内容。 3.2 节“立体几何中的向量方法”进一步研究几何中的向量方法，即用空间向量解决立体几何中的问题。教科书首先介绍如何利用空间向量表示点、直线、平面的位置，进而利用空间向量运算表示空间直线、平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等，并以解决几个立体几何中的问题为例，归纳出利用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”，即 1．向量表示（把立体几何问题中的点、直线、平面等元素用空间向量表示）； 2．向量运算（针对立体几何问题，进行空间向量运算）； 3．回归几何（对空间向量运算结果作出几何意义上的解释）。 3.1 节“空间向量及其运算”是本章的基础，本章前面部分的重点在空间向量的基本概念和基本运算。 3.2 节“立体几何中的向量方法”从一个侧面（立体几何）反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，是本章后面部分的重点。 为了拓展学生的知识面，本章在3.1 节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考 向量概念的推广与应用”，介绍了三维以上的高维向量，并通过例子说明高维向量的应用。它可供学有余力的学生学习。 本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）： 3.1 空间向量及其运算 5课时 3.2 立体几何中的向量方法 5课时 小结 2课时 本章所需主要预备知识： 1．必修2中的空间几何体（立体几何初步知识）； 2．必修4中的平面向量。 本章及其两节的知识结构可以用框图表示如下： （1）全章知识结构框图 （2）2.1节“空间向量及其运算”知识结构框图 （3）2.2节“立体几何中的向量方法”知识结构框图 重点：向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三部曲”）。 难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。 （二）要求 1．课程目标 空间向量为处理立体几何问题提供了新工具和新方法。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。 2．学习目标 （1）经历向量及其运算由二维平面情形向三维空间情形推广的过程。 （2）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 （3）掌握空间向量的线性运算及其表示。 （4）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线（平行）与垂直。 （5）理解直线的方向向量与平面的法向量。 （6）能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。 （7）能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理。 （8）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角及距离等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 原教学大纲中有关“直线、平面、简单几何体”的B方案也有空间向量的内容，但是B方案的重点在于立体几何知识，对空间向量只是作为解决部分问题的工具对待。本章中空间向量和向量方法是重点内容，对立体几何知识并不系统安排，而是通过问题举例的形式加强对向量方法的一般性认识。由此看来，在这些内容的处理上原教学大纲与新课程标准的侧重点有明显区别。二．编写思想与教材特点 （一）编写思想 1．本章在本套教科书前面的“空间几何体”（必修2）和“平面向量”（必修4）的基础上，从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 2．本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。 （二）教材特点 1．注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题 综观本章内容与前面相关内容，容易发现： （1）空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性，平面向量基本定理与空间向量基本定理也有形式上基本一致的内容。 （2）利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形。基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论。 鉴于上述认识，本章编写时，注意了充分利用学生已有的关于平面向量和平面几何中向量方法的知识基础和学习经验，在回顾和归纳预备知识的基础上，进行新旧内容之间的类比。本章内容的呈现方式多为从回顾平面向量的相应内容说起，叙述方式多为“与平面向量一样，……”“类似于平面向量……”“对比平面向量……”，设置的问题中有许多是与平面向量有关的，全章从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向量的联系。这些都反映了本章教材的一个特点，即重视知识结构中的纵向联系，强调本章内容中“推广”和“发展”的成分，创造条件帮助学生实现认识上的正向迁移，从而达到温故知新的效果。 2．强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想 分析本章主要内容，会对以下认识产生深刻印象。 （1）向量是从丰富的物理背景中抽象出的数学概念，不论平面向量、空间向量，还是高维向量，都是既有大小又有方向的量。向量的表示方式与坐标密切相关，坐标表示形式可以刻画量的大小和方向，向量的维数与它所在空间的维数一致。向量的运算有其自有的法则、运算律、几何解释和表示形式。 （2）几何中的向量方法是一种常用的方法。平面几何所讨论的对象是同一平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系，利用平面向量可以表示平面上直线之间的平行、垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论。与此完全相似，立体几何所讨论的对象是三维空间中的点、直线、平面等元素，它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过进行空间向量的运算得出几何结论。 鉴于上述认识，编写本章时，注意了解决好以下两个问题。 （1）从扩充对于“数（量）与运算”的认识的角度反映空间向量及其运算 本章注意引导学生思考向量及其运算与实数及其运算的异同，空间向量及其运算与平面向量及其运算的异同。让学生经历和体会由实数到向量、由平面向量到空间向量的推广过程，使其认识推广数学概念的的必要性，体验数学在结构上的和谐性，认识其中的共同规律（例如加法、乘法中的交换律）。本章强调不同维数向量及其运算的通性通法，注重反映其中蕴涵的一般规律（例如向量基本定理），并关注向量概念推广过程中的新问题（例如维数增加所带来的影响），讨论这些问题所引发的变化。 （2）体现引入向量为解决某些几何中问题提供了通法 向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种“三部曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性，例如解析几何就是将几何元素用方程表示，进行代数运算，再回归到几何问题。这种一般性的方法中，蕴涵了“符号化”和“模型化”思想（即用抽象符号把一类对象转化为其他等价形式），“运算化”和“程序化”思想（即通过对量化后的对象进行特定运算来解决问题）。本章3.1 节在介绍向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。本章3.2 节的重点正是放在向量方法上，其中的立体几何问题只是体现向量方法的载体，说明一般方法的例子。教科书围绕“使学生认识向量方法在解决几何问题中的作用，体会向量方法‘三部曲’”这个中心来设计，重在反映向量方法的一般过程和基本思想，同时关注对象的维数增加后带来的变化及其应对方法（例如，联系平面几何向量方法中的直线方向向量，认识立体几何向量方法中的平面法向量）。 由上可知，强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想，是本章教材的另一特点。 在前面的必修内容（数学2）中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。本章在3.2 节中以直线与平面垂直的判定定理为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。这样处理可以加强所学前后知识的联系，在“温故”的基础上，对空间位置关系提高认识水平。三．几点教学建议 综合考虑本章的内容与要求、编写思想与教材特点，我们认为有几个问题是值得关注的，并且提出一些有针对性的教学建议。 （一）把重点放在空间向量和向量方法上 本章中空间向量和向量方法是重点内容，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。因此，本章的教学应突出重点，特别是3.2节“立体几何中的向量方法”的教学，应与原教学大纲中B版教材的教学在侧重点上有明显区别，即不是立体几何问题本身为重点，而是把具体的立体几何问题作为学习向量方法的载体，以向量方法作为主要教学目标。 3．2节的主要部分是通过例题讨论这一节的主题——立体几何中的向量方法，结合例题学习可以使学生对这一主题有更具体的感受。例1～4是逐步深入地展开讨论的，其中例1、例2直接利用向量运算，例3、例4把向量方法与坐标方法相结合。这一节最后以框图形式引导学生进行小结，这又可以使学生对上述主题（向量方法“三部曲”）的认识得到进一步深化，提高抽象概括一般规律的能力。教学中应体会这些内容的设计目的，使它们能够服务于向量方法这个主题，把主要注意力放在重点内容上。 （二）注意数与形的关联 向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。例如，下列等价关系是从数与形两方面建立的，它们在向量方法中有重要作用，教学中应结合几何图形予以探讨，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背。 上述关系一方面用向量运算刻画了直线、平面的几何位置关系，另一方面也给出向量运算的直观几何解释，教学中对这种双重作用应充分重视。 （三）深化理解向量运算的作用 向量是既有大小又有方向的量，对于它规定了运算法则，本章讨论了空间向量的线性运算（加、减、数乘）和数量积。正是有了向量运算，向量才显示其重要性。为了使学生能更深刻地体会向量运算的作用，本章教科书中提出问题：你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 这个问题是要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用。如果向量仅能表示空间中的点、直线和平面，那么它的作用就只能相当于“路标”了。有了向量的运算后，这样的运算与空间几何元素的位置关系就可以对应起来。例如，线线垂直可以与向量的数量积建立对应关系，即