微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

利用极坐标计算二重积分，有公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的。

I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是x,下限是x�0�5
积分区域D即为直线y=x,和直线y=x�0�5在区间[0，1]所围成的面积，转换为极坐标后，θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：

因为y=x�0�5的极坐标方程为：rsinθ=r�0�5cos�0�5θ r=sinθ/cos�0�5θ

因为直线y=kx和曲线y=x�0�5的交点为(0,0),(k,k�0�5),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos�0�5θ],则积分I化为极坐标的积分为

I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)�0�5+(rsinθ)�0�5rdr
=∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos�0�5θ])
=∫(sinθ/cos�0�5θ)dθ(θ范围[0,π/4])
=∫(-1/cos�0�5θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1