高数中关于分段函数f(x)在分段点x0的可导性问题

2024-11-29 07:18:10

推荐回答（2个）

回答1：

因为左导数等于[f(x0-dx)-f(x0)]/(-dx)

右导数等于[f(x0+dx)-f(x0)]/(dx)。如果两者都存在f(x0-dx)和f(x0+dx)都趋于f(x0)，否则极限不存在，所以必然连续
因为这是导数的定义

回答2：

　　证明就是了：
　　（1）仅证f(x)在x0这一点左导数存在的情形：此时极限
　　　　lim(x→x0-0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'-(x0)
存在，于是
　　　　lim(x→x0-0)f(x) =f(x0)+lim(x→x0-0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f(x0)，
即f(x)在x0左连续。

　　右导数存在的情形类似证明。
　　（2）是可导的充要条件。
　　注：以上证明不管f(x)是否为分段函数都成立。