用数学归纳法证明：1+1⼀根号2+1⼀根号3+....+1⼀根号<2根号n 求详解

证明：当n=1时，1＜2成立。 假设当n=k，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k＜2根号k 成立；则当n=k+1时，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k+1/根号(k+1）＜2根号k+1/根号(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1＜k+k+1+1（此处运用均值不等式因为k不可能等于k+1，所以等号不成立）.而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因为k+1=k+1，所以取等），∴2√k√(k+1)+1＜2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)∴当n=k+1时，1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号k+1/根号(k+1）＜2根号(k+1)成立∴对于任何n∈N+ 此不等式均成立。

用缩放说 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若f(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0