求周期函数的方法

根据定义求f（x）=f（x+T），可以扩大定义域，令y=x+T，代入原函数。

根据是否满足f（x）=f（x+T），来判断。

周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。
1、周期函数的定义及性质
定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；
（1）对 有（X±T） ；
（2）对 有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
例1 常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。
狄利克莱函数D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。
由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。
2、性质：
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。
因而周期函数必定有正周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……
=f（x+T）= f(X)。
当n＜0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：
nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。
（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）
证：据条件和性质4知，存在K1、K2 Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴ 有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。
例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数。
3、周期函数的判定
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
证：∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：（先证 是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。
再证 是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但 ＜ =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。
定理3：设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。
证：设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。
例3 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。
例4，f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例5，f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos
（k∈Z）
与定义中T是与X无关的常数矛盾，∴cos 不是周期函数。
由例4、例5说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。
定理4：设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。
证：设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。
推论：设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。
例7，讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。
又 都是有理数
∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证：（1）f(X)=cos ;
(2) f(x)= ；
(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5，设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证：先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q
由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。
（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =
-2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2)
或 C∈Z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。
由（3）、（5得 ）（6）
∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。
（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则
是周期函数。
∴ ∴
例8 求证f(X)=sin x+cos x是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则 是无理数矛盾。∴f(X)是非周期函数。
4、非周期函数的判定
（1）若f(X)的定义域有界
例9，f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数，如例，f(X)=cos 是非周期函数（例5）。
（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。
例10 证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例11 证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例12 证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2
T2=Lπ(L∈Z+)，∴
与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
例13 证f(X)=cos(lgx)为非周期函数
证：若f(X)=cos(lgx)是周期函数，则必存在T（＞0）使对 ＞0有cos[lg(x+T)]=cos(lgx),当x=T时，cos(lg2T)=cos(lgT)，当x=2T时，有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)……，当x=9T时有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=……cos(lgT) ∴cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)
∴
同理可得当X=99T时有cos(lgT)=
∴ =
若sin(lgT)≠0时，有

∴cos1-cos21=sin21
∴cos1=1 显然不成立。
又若sin(lgT)=0 则lgT=Kπ ∴cos(lgT)=±1
cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=±1同样不成立 ∴cos(lgx)是非周期函数。
证法2： ∵cos(lgx)的定义域为x＞0，不是双方无界集合，由性质可知cos(lgx)不是周期函数。
类似的还可证f(X)=cos(arc cosx)为非周期函数。