230问答网 > 设x1,x2是关于x的一元二次方程x的平方-2mx+m-1=0的两个实根,则(x1+5x2)(x2+5x1)的最小值为?

设x1,x2是关于x的一元二次方程x的平方-2mx+m-1=0的两个实根,则(x1+5x2)(x2+5x1)的最小值为?

过程请详细写一下

2024-12-20 06:27:08

推荐回答（3个）

回答1：

方程的判别式△=(-2m)^2-4*(m-1)=(2m-1)^2+3>=3>0，
——》方程恒有两个不同根，
由韦达定理：
x1+x2=2m，
x1*x2=m-1，
(x1+5x2)(x2+5x1)
=5(x1+x2)^2+16x1x2
=5*(2m)^2+16*(m-1)
=20m^2+16m-16
=20(m+2/5)^2-96/5>=-96/5，
即原式的最小值为-96/5。

回答2：

由韦达定理可知。x1+x2=-b/a=2m，x1*x2=c/a=m-1，（x1+5x2）（x2+5x1）=16x1*x2+5（x1+x2）^2=4（5m^2+4m-4）
最小值为-96/5

回答3：

(x1+5x2)(x2+5x1)=x1x2+5x1^2+5x2^2+25x1x2=26x1x2+5(x1^2+x2^2)=5(x1+x2)^2 +16x1x2=(2m)^2+16(m-1)=4m^2+16m-16=4(m+2)^2-32 m=-2时最小值为-32