解答：（1）证明：连接OD、DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°，
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∠CAB=45°．
理由是：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO，
∴DE∥AO，
∵E为BC中点，OA=OB，
∴EO∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
即当∠A=45°时，四边形AOED是平行四边形．
（3）解：OBED的形状是正方形．
理由是：∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，
∴四边形OBED是正方形，
即OBED的形状是正方形．
题目中根本没有给出DE=BE这一条件。需证明。
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