230问答网 > 已知函数f(x)=-2sin^2x-2sinxcosx+1 (1)求函数f(x)的最大值（2）设α∈（0，π），f(α⼀2)=√2⼀2,

已知函数f(x)=-2sin^2x-2sinxcosx+1 (1)求函数f(x)的最大值（2）设α∈（0，π），f(α⼀2)=√2⼀2,

2025-01-04 01:25:45

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回答1：

由“倍角公式”可得：
cos2x=1-2sin²x.
sin2x=2sinxcosx.
∴2sin²x=1-cos2x.
2sinxcosx=sin2x.
∴函数f(x)=-2sin²x-2sinxcosx+1
=-1+cos2x+sin2x+1
=sin2x+cos2x
=(√2)sin[2x+(π/4)].
即题设中的函数可化为：
f(x)=(√2)sin[2x+(π/4)].

故最大值是f(x)max=根号2.
f(a/2)=根号2sin(a+Pai/4)=根号2/2
sin(a+Pai/4)=1/2
0a+Pai/4=5Pai/6
a=105度
sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=根号2/4+根号6/4