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（文）（1）用坐标法证明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）证明：cos（α+β）cos（α-β

2024-12-31 17:58:35

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回答1：

解答：（1）证明：如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β，使角α、β 的始边为Ox轴，
角α、β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则

=（cosα，sinα），

=（cosβ，sinβ）．
∴

=（cosα，sinα）?（cosβ，sinβ ）=cosαcosβ+sinα sinβ．
设

与

的夹角为θ，则 θ=2kπ+α-β，k∈z，且

OA|

|OB

|?cosθ=cosθ．
∴cosθ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinα sinβ，故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．

（2）证明：∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos（α+β）cos（α-β）=（cosαcosβ+sinαsinβ）（cosαcosβ-sinαsinβ）=cos²αcos²β-sin²α?sin²β
=cos²α（1-sin²β）-sin²α?sin²β=cos²α-sin²β．
∴cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β 成立．