当函数的定义域范围扩充到复数时它的图像是怎么样的？（以二次函数Y=X^2为例）

扩充到复数时，X作为一个复数，可以表示成A+iB，Y=X^2就不再是X的平方这么简单了，而是X的模的平方，等于X乘上X的共轭数A-iB，Y=（A+iB）*（A-iB）=A^2-(iB)^2=A^2+b^2.这个函数就是从复数域映到非负实数域的，图象应该是在有3个坐标轴的三维坐标系上，两个表示出X，另一个是Y值

当定义域扩展到复数时，就进入一个三维空间，实数轴x,y和虚数轴i，这个时候y=x的函数就代表的是一个平面，y=x^2,会呈现出一个旋转的闭合曲面。（x和i构成一个水平的复平面，y和i构成垂直的复平面，所以x和y就不在是数轴了，而是复平面。）如果深入研究的话，也行会得出更为高深的理论。比如：在这个函数中添加系统，该曲面就会出一个中间空洞，也许就是科学家说的时光隧道。

首先，我们研究的函数的定义域都是在实数范围讨论。要是把定义域强行扩展到复数域讨论，在三维世界是画不出来的。比如最简单的一元线性基本函数：y=x。在平面直角坐标系里面，就是过原点，45度倾斜角的一条直线。一旦扩展到复数域，那么就要建立“四维空间直角坐标系”分别是X虚轴；X实轴；Y虚轴；Y实轴，四轴互相垂直。自变量由X两轴确定，再映射到Y轴上。其图像是一个三维空间。

y=(a+bi)^2+4在复平面里面是一个抛物马鞍面（类似双曲马鞍面）
以a/y轴平面切这个面,切缘就是y=x^2+4这个抛物线,开口向上.和实轴没交点，也就是无实数根
以bi/y轴平面切,切缘是y=-x^2这个抛物线开口向下。这也就解释了为什么它在虚轴上有两个交点，有两个虚数根

是这样的吗