W1和W2是V的子空间,证明1.(W1+W2)的正交补=W1正交补+W2正交补2.（W1∩W2）的正交补=W1正交补+W2正交补

这里暂时用W^表示W的正交补.
1. (W1+W2)^ = W1^∩W2^.
2. (W1∩W2)^ = W1^+W2^.

1. 直接按定义验证.

若v ∈ (W1+W2)^, 则v与W1+W2中的向量都正交.
特别的v与W1和W2中的向量都正交, 有v ∈ W1^且v ∈ W2^.
故v ∈ W1^∩W2^, 于是(W1+W2)^ ⊆ W1^∩W2^.

反过来, 若v ∈ W1^∩W2^, 对任意w ∈ W1+W2考虑二者的内积(v,w).
由w ∈ W1+W2, 存在w1 ∈ W1, w2 ∈ W2使w = w1+w2, 则(v,w) = (v,w1)+(v,w2).
由v ∈ W1^∩W2^ ⊆ W1^, 有(v,w1) = 0, 同理(v,w2) = 0.
得(v,w) = 0, v与W1+W2中任意向量都正交.
故.v ∈ (W1+W2)^, 于是W1^∩W2^ ⊆ (W1+W2)^.

综合得(W1+W2)^ = W1^∩W2^.

2. 可以仿照上面的证明直接验证. 而如果能用(W^)^ = W, 则可以用上面的结果直接证明.

设V1 = W1^, V2 = W2^, 由1的结论有(V1+V2)^ = V1^∩V2^.
两边同时取正交补得V1+V2 = ((V1+V2)^)^ = (V1^∩V2^)^.
代入即得W1^+W2^ = ((W1^)^∩(W2^)^)^ = (W1∩W2)^.