230问答网 > 已知函数f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+1,x∈R，若x∈【0,2】时，f(x)≥a^2(1-X)恒成立，求a的取值范围

已知函数f(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+1,x∈R，若x∈【0,2】时，f(x)≥a^2(1-X)恒成立，求a的取值范围

2025-01-02 10:30:11

推荐回答（2个）

回答1：

由题意：任意的x∈[0，2]，x2+1≥（-a2+2a+1）x，成立
当x=0时，不等式显然成立
当x∈（0，2]，-a2+2a+2≤x+1 x ．
∵x+1 x ≥2，(x=1 时取等)
∴-a2+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
综上：a≤0或a≥2

回答2：

f(x)>=（a^2）*(1-x)
x^2-2(a+1)x+a^2+1 >=（a^2）*(1-x)
x^2+(a^2-2a-2)x+1 >=0,x属于[0,2]
设g(x)=x^2+(a^2-2a-2)x+1,开口向上，对称轴x=1+a-a^2/2
分类讨论
1，1+a-a^2/2<0,g(0)>=0
2，0<=1+a-a^2/2<=2,g(1+a-a^2/2)>=0
3,1+a-a^2/2>2,g(2)>=0
分别解两个不等式，得到交集，即可求出a的范围