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若不等式x눀+2+│x눀-2x│≥ax对任意x属于（0，4）恒成立，则实数a的取值范围

2025-01-03 18:37:04

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回答1：

思路：想法是先将绝对值去掉，然后利用二次函数的最值，基本不等式等方法来解决。
解：去掉绝对值分为两种情况
（1）如果0 x²+2+2x-x²≥ax，这等价于2x+2≥ax对任意的0 即：a≤2+2/x对任意的0（1）如果2 2x²-2x+2≥ax，即a≤-2+2x+2/x，根据基本不等式2x+2/x≥2倍的根号（2x×2/x）=4，所以
-2+2x+2/x的最小值-2+4=2,。但是值得注意的是取等号的条件是2x=2/x，得x=1，而我们讨论的范围是2
综合上述的讨论：我们可以得出当a≤3时，不等式x²+2+│x²-2x│≥ax对任意x属于（0，4）恒成立。

小结：以后做关于含有x，a两个变量恒成立的题目时，我们一般的思路就是把含有x的式子转化在一边，变成形如a≤f(x)或者a≥f(x)，前者只需算出a小于f(x)的最小值，后者只需a大于f(x)的最大值。由此这类的问题变成了求最值问题。希望你能有所收获，祝你学习进步。