已知a^2+ab+b^2|ab(a+b),求证(a-b)^3>3ab

已知正整数a > b > 0满足a²+ab+b² | ab(a+b), 求证(a-b)³ > 3ab.

设a, b的最大公约数(a,b) = d, a = md, b = nd.
代入条件得(m²+mn+n²)d² | mn(m+n)d³, 故m²+mn+n² | mn(m+n)d.
由(a,b) = d, 有(m,n) = 1. 下面证明m²+mn+n²与m, n和m+n都互质.

假设m²+mn+n²与m有公共质因数p, 即p | m同时p | m²+mn+n².
则有p | n² = (m²+mn+n²)-m(m+n), 进而有p | n, 于是p为m, n的公共质因数, 与(m,n) = 1矛盾.
因此(m²+mn+n²,m) = 1, 同理(m²+mn+n²,n) = 1.
假设m²+mn+n²与m+n有公共质因数p, 即p | m+n同时p | m²+mn+n².
同样有p | n² = (m²+mn+n²)-m(m+n), 进而p | n, 以及p | m² = (m²+mn+n²)-n(m+n), 进而p | m.
于是p为m, n的公共质因数, 与(m,n) = 1矛盾.
因此(m²+mn+n²,m+n) = 1.

由m²+mn+n²与m, n和m+n都互质, 又m²+mn+n² | mn(m+n)d, 有m²+mn+n² | d.
而d > 0, 故m²+mn+n² ≤ d, 得a²+ab+b² = (m²+mn+n²)d² ≤ d³.
由a > b, a-b > 0, 又d | a-b, 故a-b ≥ d > 0, 得(a-b)³ ≥ d³ ≥ a²+ab+b² = 3ab+(a-b)² > 3ab.
证毕.

虽然上面这样也能做, 但是个人怀疑题目是下面这样:
已知正整数a > b > 0满足a²+ab+b² | ab(a-b), 求证(a-b)³ > 3ab.

这个做起来简单一些.
由a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²), 有a²+ab+b² | a³-b³.
又a²+ab+b² | ab(a-b), 股a²+ab+b² | 3ab(a-b) = 3a²b-3ab².
相减得a²+ab+b² | a³-3a²b+3ab²-b³ = (a-b)³.
由a > b, (a-b)³ > 0, 有(a-b)³ ≥ a²+ab+b² = 3ab+(a-b)² > 3ab.
证毕.