求由曲面z=x^2+2y^2及z=3-2x^2-y^2所围成的立体的体积

2024-11-26 00:37:25

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回答1：

两曲面方程联立，消去z，得x^2+y^2=1，所以整个立体在xoy面上的投影区域是D：x^2+y^2≤1。
体积V=∫∫ [(3-2x^2-y^2)-(x^2+2y^2)]dxdy=∫(0到2π)dθ∫(0到1) 3(1-ρ^2)ρdρ=6π∫(0到1) (1-ρ^2)ρdρ=3π/2。

回答2：

椭圆柱面z=x^2+2y^2与椭圆锥面z=3-2x^2-y^2的交线为x^2+y^2=3,是半径为√3，圆心在原点(0,0,0)
的圆，所以，所围成的立体的体积=1/3*3*3*π=3π

回答3：

两曲面的交线在xy坐标面上的投影曲线是x^2+y^2＝2，所以整个立体在xy面上的投影区域是d：x^2＋y^2≤2
体积v＝∫∫(d)
[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
用极坐标
＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)
(2－ρ^2)ρdρ＝6π