E=MC^2是怎么推导出来的？

dEk=vd(mv)=V^2dm+mvdv是因为，对mv进行求导，把m也看成关于v的函数，
导数不是有公式：(uv)'=u'v+uv'吗。所以d(mv)=dm*v+m*dv

一个物体的实际质量为其静止质量与其通过运动多出来的质量之和。

质能方程当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时，质点每经历位移ds，其动能的增量是dEk=F·ds，如果外力与位移同方向，则上式成为dEk=Fds，设外力作用于质点的时间为dt，则质点在外力冲量Fdt作用下，其动量增量是dp=Fdt，考虑到v=ds/dt，有上两式相除，即得质点的速度表达式为v=dEk/dp，亦即 dEk=vd(mv)=V2dm+mvdv，把爱因斯坦的质量随物体速度改变的那个公式平方，得m2(c2-v2)=m02c,对它微分求出：mvdv=(c2-v2)dm，代入上式得dEk=c2dm。上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能Ek都在增加，质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c2dm所示的量值上的正比关系。当v=0时，质量m=m0，动能Ek=0，据此，将上式积分，即得∫Ek0dEk=∫m0m c2dm（从m0积分到m）Ek=mc2-m0c2
上式是相对论中的动能表达式。爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把m0c2叫做物体的静止能量，把mc2叫做运动时的能量，我们分别用E0和E表示：E=mc, , E=mc。
推导：首先是狭义相对论得到
洛伦兹因子γ=1/sqrt(1 - v2/c2)
所以，运动物体的质量 M(v) = γm0=m0/(1 - v2/c2)
然后利用泰勒展开
1/sqrt(1 - v2/c2)=1+1/2*v2/c2+....
得到M(v)c2 = γm0c2=m0c2/(1 - v2/c2)=m0c2+1/2m0v2+...
其中m0c2为静止能，1/2m0v2就是我们平时见到的在低速情况下的动能，后面的省略号是高阶的能量。