解析数学题：利用因式分解化简多项式，1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方

1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)²（1+x)+x(1+x)³+x(1+x)的4次方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)³(1+x)+x(1+x)的4次方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)的4次方(1+x)+……+x(1+x)的2011次方
=......
=(1+x)²º¹²

1+x+x(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=（1+x）+x(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=（1+x）(1+x)+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)的平方+x(1+x)的平方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)的平方*(1+x)+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)的3次方+……+x(1+x)的2011次方
=(1+x)的2011次方*（1+x）
=(1+x)的2012次方

非常简单
原式=(1+x)+x（1+x）+x(1+x)²+x(1+x)³+......+x(1+x)2011 （先把第一个1+x看成整体）
=(1+x)（1+x）+ x(1+x)²+ x(1+x)³+......+x(1+x)2011 （对前两项提供因式” 1+x”）
=(1+x)²+ x(1+x)²+x(1+x)³+......+x(1+x)2011
=(1+x)²(1+x) +x(1+x)³+......+x(1+x)2011 （对前两项提供因式’’(1+x)²”）
=................ （按上面步骤进行2010次）
=(1+x)2012

1+x+x(1+x)=(1+x)�0�5,
1+x+x(1+x)+(1+x)�0�5=(1+x)�0�6,
...
所以1+x+x(1+x)+x(1+x)�0�5+...+x(1+x)�0�5�0�2�0�1�0�1= (1+x)�0�5�0�2�0�1�0�5.