级数tan^(-1)⼀(1+n^2)收敛性

个人对cot(n)/(1+n²)无能为力, 谨慎怀疑你还是抄错题了.
题目如果写tan^(-1)(n), 那就是arctan(n), 而不是cot(n).

对于cot(n)/(1+n²)我给一点分析, 看这个问题: lim{n→∞} cot(n)/(1+n²)是否为0.
若极限为0, 可以得到: 至多有有限对正整数p,q使|pπ-q| < 1/p².
否则由|sin(q)| = |sin(q-pπ)| < |q-pπ| < 1/p² = π²/(πp)² < 9/q² (当p > 10).
当q > 9, 由|sin(q)| < 1/9, 有|cos(q)| > 1/2, 于是|cot(q)| = |cos(q)|/|sin(q)| > q²/18.
有无穷多个q使|cot(q)/(1+q²)| > q²/(18(1+q²)) > 1/36.
得到lim{n→∞} cot(n)/(1+n²)不能为0, 矛盾.

可以看到, 级数∑cot(n)/(1+n²)收敛可以推出lim{n→∞} cot(n)/(1+n²) = 0.
而lim{n→∞} cot(n)/(1+n²) = 0可以推出至多有有限对正整数p,q使|π-q/p| < 1/p³.
最后这个结论是一个Diophantine逼近问题.
但是截至目前, 人们只能证明对d > 7.6063, 至多只有有限对正整数p,q使|π-q/p| < 1/p^d.
也就是说目前甚至没有办法证明这个级数的通项是趋于0的.

上述分析并不妨碍证明该级数发散.
但是证明该级数通项不收敛到0大概是不可行的.
总之个人是无能为力.

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是成立cot(x) = (tan(x))^(-1).
但是tan^(-1)(x)的写法习惯上是表示tan(x)的"反函数", 即反正切函数(虽然不是真正的反函数).
为免歧义我写成arctan(x).

0 < arctan(n)/(1+n²) < π/2·1/(1+n²) < π/2·1/n².
根据比较判别法, 由级数∑1/n²收敛, 可得正项级数∑arctan(n)/(1+n²)收敛.

含有三角函数的级数没有什么特别的，都是运用比较判别法，就是跟1/n^p作比较。
这里的题目可能没有写清楚到底是arctan n/(1+n²)还是arctan(n/(1+n²))
如果是前者就是∑arctann/(1+n²)，那么我们跟1/n^2作比较，即lim{n→∞} arctan n/(1+n²)/(1/n^2) = lim{n→∞} arctan n=π/2,因为 由级数∑1/n^2是收敛的，所以∑arctann/(1+n²)收敛
如果是后者，则跟1/n作比较，可知是发散。

同学，还是不对啊，你题目写清楚了，可以发个截图。
如果真的是cot(n)/(1+n^2)，那是很显然发散的。
因为你可以证明通项不趋于0，肯定发散。