230问答网 > 已知(b+c)⼀a=(c+a)⼀b=(a+b)⼀c,求abc⼀ [ (a+b)(b+c)(c+a) ]的值.

已知(b+c)⼀a=(c+a)⼀b=(a+b)⼀c,求abc⼀ [ (a+b)(b+c)(c+a) ]的值.

2024-12-12 13:15:43

推荐回答（2个）

回答1：

解：
设(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c =k，则：
b+c=ka................(1)
c+a=kb................(2)
a+b=kc................(3)
上述各式相加：
2(a+b+c)=k(a+b+c)
因此：
k=2
(1)×(2)×(3)，得：
(a+b)(b+c)(c+a)=k³abc
因此：
abc/ [ (a+b)(b+c)(c+a) ]
=1/k³
=1/8

回答2：

令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
则a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
相加
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0

若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=(-c)(-a)(-b)/abc
=-1

若k-2=0
k=2
则a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8

所以则(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1或8