2⼀1*（1+2）+3⼀（1+2）*（1+2+3）+4⼀（1+2+3）*（1+2+3+4）+......+100⼀（1+2+3+...+99）*（1+2+3+...+100

把一般项（也就是通项）的分子写成分母的差（如 4=(1+2+3+4)-(1+2+3)），
再把它写成差，约分后通项为 1/(1+2+3+.....+n)-1/(1+2+3+....+n+1) ，
因此原式=[1-1/(1+2)]+[1/(1+2)-1/(1+2+3)]+..........+[1/(1+2+3+.....+99)-1/(1+2+3+......+100)]
=1-1/(1+2+3+.........+100)
=1-1/[100*(100+1)/2]
=5049/5050 。

把每个分式分解 如2/1*(1+2)=1/1-1/(1+2),
3/(1+2)*(1+2+3)=1/(1+2)-1/(1+2+3)，
4/（1+2+3）*（1+2+3+4）=1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4)
.....
100/(1+2+3+...+99）*（1+2+3+...+100)=1/(1+2+3+...+99）-1/（1+2+3+...+100)
这样相加的时候就可以把中间的全部消掉了
原式 = 1-1/（1+2+3+...+100) = 1-1/5050 = 5049/5050