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a,b∈R,求证:a+b<=√(a^2+1)√(b^2+1)<=1⼀2(a^2+b^2)+1

a,b∈R,求证:a+b<=√(a^2+1)√(b^2+1)<=1/2(a^2+b^2)+1 过程。谢谢！！

2024-12-26 03:56:31

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回答1：

当a+b<0时
√(a²+1)√(b²+1)>0
所以a+b<=√(a²+1)√(b²+1)
当a+b>0时
（a+b）²=a²+2ab+b²
(√(a²+1)√(b²+1))²=a²b²+a²+b²+1
a²b²+a²+b²+1-(a²+2ab+b²)=(ab-1)²>=0
即(√(a²+1)√(b²+1))²>=（a+b）²
a+b>0
所以a+b<=√(a²+1)√(b²+1)
1/2(a²+b²)+1>0
1/2(a²+b²)+1=1/2(a²+1)+1/2(b²+1)>=√(a²+1)√(b²+1)(均值不等式)
综上a+b<=√(a²+1)√(b²+1)<=1/2(a²+b²)+1
望采纳，有问题请追问