230问答网 > 设x1，x2。。。xn为互不相等的实数，且x1+1⼀x2=x2+1⼀x3=...=xn+1⼀x1 求证：x1눀x2눀...xn눀=1

设x1，x2。。。xn为互不相等的实数，且x1+1⼀x2=x2+1⼀x3=...=xn+1⼀x1 求证：x1눀x2눀...xn눀=1

2025-01-01 01:40:29

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回答1：

∵x1＋1/x2＝x2＋1/x3，∴x1－x2＝1/x3－1/x2＝（x2－x3）/（x2x3），
∴x2x3＝（x2－x3）/（x1－x2）。······［1］

∵x2＋1/x3＝x3＋1/x4，∴x2－x3＝1/x4－1/x3＝（x3－x4）/（x3x4），
∴x3x4＝（x3－x4）/（x2－x3）。······［2］

∵x3＋1/x4＝x4＋1/x5，∴x3－x4＝1/x5－1/x4＝（x4－x5）/（x4x5），
∴x4x5＝（x4－x5）/（x3－x4）。······［3］

······

同理，有：
x(n－1)xn＝［x(n－1)－xn］/［x(n－2)－x(n－1)］。······［n－2］
xnx1＝（xn－x1）/［x(n－1)－xn］。······［n－1］
x1x2＝（x1－x2）/（xn－x1）。······［n］

将上述的［1］、［2］、［3］、［4］、······、［n－2］、［n－1］、［n］左右分别相乘，得：
（x1x2x3x4x5······xn）^2＝1。