高等数学，全微分与路径无关。

在单联通区域内，“αQ/αx=αP/αy”与“Pdx+Qdy是一个二元函数的全微分”是等价的，教材上应该是有的。
你的题目里面的D是区域还是曲线？
第一个积分只能说在一个不包括原点的单连通区域内与路径无关。如果曲线积分中的L已经是给定的一条不经过原点的非闭曲线，把它放到一个不包括原点的单连通区域内是一定的，所以这个曲线积分与路径无关，但不能说是在区域x^2+y^2＞0内，而应该是在区域x^2+y^2＞0内的任一个不包括原点但包括L的单连通区域内。

同样地，第二个也是如此，把给定的曲线L放到一个不包括原点但包括L的单连通区域内，根据αQ/αx≠αP/αy得到曲线积分与路径有关是对的，说曲线积分在区域x^2+y^2＞0内与路径有关也不能算是错的。

由于不是单连通区域，因此不能说积分与路径无关，对于任意的两条路径，要看原点是否在这两条路径所围区域内，如果原点不在其内，则与路径无关；如果原点在这个区域内，积分与路径是有关的。

你所说的x²+y²>0这个范围内不能说积分与路径无关。

二元全微分，不一定就与路径无关（注意定理中有一个前提条件，P、Q两函数在区域内具有一阶连续偏导数）。

对于第一题，aq/ax=ap/ay 所以与路径无关
对于第二题，aq/ax≠ap/ay 所以与路径有关

这是第二类曲线积分 至于第一题·，应该是先得到aq/ax=ap/ay 然后再开始找到原函数，这样做一般速度快 因为只要代入起始点即可 通常的做法，还是取折线，直线段等特殊路径算其积分

对于第二题 你说：这个式子不是单连通域，所以不能用格林公式证明（） 答案：不是用的格林公式 判断第二类曲线积分是否与路径有关的充要条件是 aq/ax=ap/ay是否成立就行 至于用格林公式计算第二类曲线积分的题型建议看教材