230问答网 > 如果a^2+b^2=1，且a,b均为大于0的实数，a^3+b^3+1=m(a+b+1)^3，求m的最小值，怎么做啊

如果a^2+b^2=1，且a,b均为大于0的实数，a^3+b^3+1=m(a+b+1)^3，求m的最小值，怎么做啊

2024-12-28 05:36:57

推荐回答（2个）

回答1：

根号2，三角换元

回答2：

a^2+b^2≥2ab=1
a^3+b^3+1=m(a+b+1)
a^3+b^3+1≥3次根下（a*b*1）=3
故m(a+b+1)≥3次根下（a*b*1）
m≥3次根下（a*b*1）/(a+b+1)
3次根下（a*b*1）/(a+b+1)≤3次根下（a*b*1）/3次根下（根号a*b*1）=1，最大值为1
此时a=b=1
m必须大于等于后式的最大值也就是1
∴ 最小m=1
m≥1