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230问答网 > 设A B为n阶矩阵，且r（A）=r（B），则存在可你矩阵P Q，使PAQ=B怎么证明？

设A B为n阶矩阵，且r（A）=r（B），则存在可你矩阵P Q，使PAQ=B怎么证明？

且为什么存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B不对

2025-03-28 01:44:42

推荐回答（3个）

回答1：

秩相等不一定相似所以 "存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B不对"
因为A,B的秩相等, 所以它们的等价标准形相同
即A,B都与 H=
Er 0
0 0
等价
即存在可逆矩阵使得 P1AQ1 = H = P2BQ2
所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B
令 P= P2^-1P1, Q = Q1Q2^-1
则有 PAQ=B.

回答2：

P1AQ1=【E，0；0,0】
P2BQ2=【E，0；0,0】
P1AQ1=P2BQ2
P=P2^-1P1;Q=Q1Q2^-1
PAQ=B

且为什么存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B不对
矩阵等价不是矩阵相似

回答3：

这个是因为通过初等变换A B都能变成标准形矩阵c，p1Aq1=c,p2Bq2=c,p1Aq1=P2Bq2,P2-p1Aq1q2-=B,令p2-P1=p,q1q2-=q,所以存在pAq=B

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