试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=diag(Er,0),其中r为秩，Er为r阶单位矩阵

证明：

A为实对称矩阵，则币可以对角化，

令Aa=xa则

A^2=A

x^2a^2=xa

x(x-1)a=0

a≠0，x=0,1

则A矩阵的特征值只能为0,1

所以r（A）=r（Λ）=特征值非0的个数

所以必存在可逆矩阵T使得

T^(-1)AT=diag（Er，0）

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

扩展资料

基本性质

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

证明：
A为实对称矩阵，则币可以对角化，
令Aa=xa则
A^2=A
x^2a^2=xa
x(x-1)a=0
a≠0，x=0,1
则A矩阵的特征值只能为0,1
所以r（A）=r（Λ）=特征值非0的个数
所以必存在可逆矩阵T使得
T^(-1)AT=diag（Er，0）

∵A是是对称的
∴存在正交矩阵T，使得T^-1AT是对角型的，设对角线上是d1,d2,...dn
则由A^2=A有di^2=di，1<=i<=n
所以di=0或1
整理一下就是（Er,0）