已知f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续,求证f(x)在(a,b)上有界

2024-11-25 23:50:21

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回答1：

对ε=1.存在δ>0,且不妨设 a-δ 当|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<1
当x∈(a,a+δ)时，取x0∈∈(a,a+δ),则对任意的x∈(a,a+δ)
f(x0)-1而函数在闭区间[a+δ,b-δ]连续，一定有界。
所以在开区间（a,b)有界。

我的证明肯定是对的。

回答2：

证明：补充定义，设f(a)=f(a+),f(b)=f(b-)
∵函数f(x)在开区间(a，b)上连续
∴函数f(x)在闭区间[a，b]上连续
由Cantor定理知，函数f(x)在闭区间[a，b]上一致连续
故函数f(x)在开区间(a，b)上一致连续。证毕。

回答3：

高等代数呀，呵呵，多少年不动了，都忘记了