230问答网 > ∫上限X下限0)f(t)dt=cosx^2,则∫上限1下限0)Xf(x^2 )d(x)=

∫上限X下限0)f(t)dt=cosx^2,则∫上限1下限0)Xf(x^2 )d(x)=

2025-01-03 20:55:31

推荐回答（2个）

回答1：

其实，很简单的：
∫(0→1) xƒ(x²) dx
=(1/2)∫(0→1) ƒ(x²) dx²(变量代换t=x²)
=(1/2)∫(0→1) ƒ(t) dt
由已知条件∫(0→x) ƒ(t) dt = cos(x²)知，∫(0→1) ƒ(t) dt=cos1
所以∫(0→1) xƒ(x²) dx=0.5*cos1

回答2：

∫(0→x) ƒ(t) dt = cos(x²)，两边都对x求导
ƒ(x) = - 2xsin(x²)
ƒ(x²) = - 2x²sin(x⁴)
∫(0→1) xƒ(x²) dx
= ∫(0→1) x[- 2x²sin(x⁴)] dx
= (- 2)(1/4)∫(0→1) sin(x⁴) d(x⁴)
= (- 1/2)[- cos(x⁴)]：(0→1)
= (1/2)[cos(1) - cos(0)]
= (1/2)cos(1) - 1/2